72 bolas : solución
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Bueno, un poco tarde, pero aquí va la solución al problema de probabilidades que planteé hace más de medio año: ¿qué probabilidad hay de aprobar, habiendo estudiado 10 de 72 temas, si aprobar significa saber al menos 1 de los 5 temas seleccionados al azar de entre el total de los 72?
Bueno, pues Lucía (mi amiga la que se presentó al examen habiendo estudiado sólo 10 temas y aprobó) arriesgó aproximadamente lo mismo que tirando una moneda, ya que la probabilidad que tenía de pasar la prueba era 53,75%.
La explicación (sin detallar demasiado):
- N = número total de temas (bolas)
- n = número de temas estudiados
- m = intentos (número de bolas diferentes que se extraen, de las cuales hay que saber una al menos, para aprobar)
- C(v,k) = Grupos diferentes posibles de _k_ elementos, tomados de un total de _v_ elementos distintos (maneras diferentes de extraer _k_ bolas, de entre un total de _v_ bolas).
El número combinatorio C(v,k) tiene una expresión conocida:
C(v,k) = v! / (k! (v-k)!)
Con esta notación, la probabilidad que queremos calcular es:
P(aprobar) = 1 − P(no aprobar) = 1 − (maneras diferentes de extraer _m_ bolas, de entre _N−m_ bolas) / (maneras diferentes de extraer _m_ bolas, de entre _N_ bolas) = 1 − C(N−n, m) / C(N, m) = 1 − (N−n)!(N−m)! / ((N−n−m)! N!)
En concreto, para N=72, n=10 y m=5, tenemos:
P(aprobar | N=72, n=10, m=5) = 1 − 62!67! / (57! 72!) = 0,5375 = 53,75%.
Con 30 temas estudiados, que parece que es lo habitual, uno se asegura aprobar con una probabilidad de
P(aprobar | N=72, n=30, m=5) = ··· = 93,92%.
Con 32 temas estudiados se supera el 95% de probabilidades de aprobar; y hay que estudiar hasta 43 de los 72 temas para aumentar dicha probabilidad hasta el 99%.
